老黄这回要分享一个含有反三角函数的奇函数方程，如何用牛顿切线法来求解。牛顿切线法在老黄学高数系列视频第211讲中有详细介绍。具体步骤分成三步：(1)确定根的大概位置；(2)用点列{xn}逼近方程的根；(3)检验近似根的绝对误差。实际操作中，会有所调整。
求方程x-2arctanx=0的根的近似值，精确到0.001.
分析：为了解题过程中描述的方便，我们会记函数f(x)=x-2arctanx. 并发现这是一个连续的奇函数。连续的奇函数，一定经过原点，即f(0)=0. 说明x=0是原方程的一个根。另外奇函数的性质决定了，方程要么不再有其它的根，如果有，就必然还有偶数个根(除了0以外)。而且它们是以互为相反数的形式成对出现的。我们只需求得正区间或负区间的所有根，就可以得到另一半区间的所有根，从而得到整个方程的所有实数根。
为了确定根的大概位置，以及为求点列{xn}做准备，一般会先求f(x)的一阶导数和二阶导数。
由f(x)=(x^2-1)/(1+x^2)可知，函数有两个稳定点x=1和x=-1。
由f"(x)=4x/(1+x^2)^2可知，f"(1)>0, f"(-1)<0. 即x=-1是函数的极大值点，x=1是函数的极小值点。这里极大值f(-1)>0，极小值f(1)<0，说明在开区间(-1,1)上，有方程的一个根，不过这个根我们已经确定了，它就是x=0.
又当x趋于负无穷大时，f(x)小于0，当x趋于正无穷大时，f(x)大于0. 具体求极限的过程，这里就省略了。
这就可以知道，方程有三个根，分别记为ξ1<0<ξ2. 大小关系也给它们确定了，指定ξ1是负根，ξ2是正根，它们是互为相反数。只要求出一个，另一个自然就确定了。下面选择求正根。
因为f(2)=2-2arctan2≈-0.214<0, f(3)=3-2arctan3≈0.502>0, 所以ξ2在开区间(2,3). 这里还是要用计算器求反正确函数的。不要说那不如直接用计算器求方程的根，除非你真的能做到。
做一个小结：牛顿切线法第一步，确定根的大概位置的一般步骤是：求函数的一阶导和二阶导；用一阶导确定稳定点；用二阶导确定极值点；根据极值，以及函数趋于无穷大的符号性质，确定根的数量；检验根附近的点的函数符号性质；确定根的大概位置。
然后开始第二步，先明确根所在区间的单调性和凸性。显然，这个函数在(2,3)上，一阶导数大于0，是单调递增的，二阶导数也大于0，是下凸的。它属于牛顿切线法求点列的第二种情形，如下图：(注意，这个图像并不是f(x)图像的一部分)
这种情形下，要从右边开始找点。即从点(3,0.502)开始作曲线的切线与x轴相交于点x1，求得x1约等于2.373. 第一个点通常都不会满足精确度要求的。
就继续从点x作切线与x轴相交于点x2，求得x2约等于2.331. 一般情况下，这个点就可能满足精确度要求了。这时候，你有两种选择。
按老黄提供的方法，是重复上面的步骤，继续找点x3，求得x3约等于2.331.很明显的，2.331就是方程精确到0.001的近似根。
按牛顿切线法的一般步骤，则是要进行第三步，检验x2，或者x3的误差是否满足精确度要求了。就是求导数f(x)在[2,3]上的最小值，结果约为0.6. 然后用x2的函数值的绝对值除以这个最小值，得到的结果约等于0.00013，远远小于0.001，说明x2的误差符合精确度要求。所以2.331是方程精确到0.001的近似根。
两种方法，你更喜欢哪种，就用哪种吧。老黄自然更爱用自己的方法了。但你应该会更相信牛顿切线法的权威吧。
写到这里，老黄突然发现自己的方法不准确的地方。老黄决定以后要放弃这种方法。老黄之所以不在这篇文章就放弃。是想告诉大家，数学探究出糗很正常。有错误，才会有真理。至于老黄的方法为什么不严谨，因为可能出现x1和x2之间的差非常小，于x2和x3之间的差却变大的情况。
最后由奇函数的性质，就可以知道方程的另一个约等于-2.331.
函数f(x)的图像如下图。
最后以图片的形式，展示全题的解题过程如下：
多找几道题来练一练，你肯定会喜欢上这种求方程近似根的方法的。
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