主要内容：

本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、构造函数等方法计算ab在a+21b=√2条件下的最大值。

思路一：直接代入法

根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

ab

=a(√2/21-1/21*a)

=-1/21*a^2+√2/21*a

=-1/21(a-√2/2)^2+1/42，

则当a=√2/2时，ab有最大值为1/42。

思路二：判别式法

设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。

a+21b=√2,

a+21p/a=√2,

a^2-√2a+21p=0,对a的二次方程有：

判别式△=2-84p≥0,即：

p≤1/42,

此时得ab=p的最大值=1/42。

思路三：三角换元法

将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。

由a+21b=√2，要求ab的最大值，不妨设a，b均为正数，

设a=√2(cost)^2，21b=√2(sint)^2，则：

a=√2(cost)^2,b=√2/21(sint)^2,代入得：

ab=√2(cost)^2*√2/21(sint)^2,

=1/42*(sin2t)^2,

当sin2t=±1时，ab有最大值=1/42。

思路四：中值代换法

设a=√2/2+t,21b=√2/2-t，则：

a=(√2/2+t),b=(1/21)(√2/2-t)

此时有：

ab=1/21*(√2/2+t)*(√2/2-t)

=1/21*(1/2-t^2)。

当t=0时，即：ab≤1/42,

则ab的最大值为1/42。

思路五：不等式法

当a，b均为正数时，则：

∵a+21b≥2√21*ab,

∴(a+21b)^2≥84*ab,

2≥84*ab,

即：ab≤1/42,

则ab的最大值为1/42。

思路六:构造函数法

设函数f(a,b)=ab-λ(a+21b-√2),

则偏导数fa=b-λ,fb=a-21λ,

fλ=a+21b-√2。

令fa=fb=fλ=0，则：

b=λ,a=21λ。进一步代入得：

21λ+21λ=√2,即λ=√2/42.

则有a=√2/2,b=√2/42.

ab的最大值=√2/2*√2/42=1/42。