沉迷数学的史蒂文又来啦！欢迎和我一块学习。

「图解数学」系列，根据欧几里得几何推演逻辑，用学生看起来最为直观的图形，来讲解平面几何各个知识点。

连载12期，精确覆盖SAT/ACT平面几何部分的所有考点；涉及AMC 8和公立学校初中平面几何重要知识点，并为国际学校和公立学校学生作中英文对照。

没听说过 AMC？

AMC 的全称是American Mathematics Competitions，美国数学竞赛。有三种等级： AMC 8 / AMC 10 / AMC 12，分别对应不超过 8/10/12 年级的学生参加，美国及其他地区均可参加。

需要详细了解的您可以看：AMC竞赛，美国大学申请的神助攻

下面进入正文部分：

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人伸开双臂的长度基本等于人的身高，像这样一句话，在数学里就叫做命题（statements）了，有好奇者想检验这句话的真伪，论证这句话是对的的过程就叫做命题的证明。在真实的英文数学考题中，会有Show that ... Prove that ...之类的题目。

数学中的证明基本可以分为两种：

一、基于定理的证明。

这种证明的基本逻辑是用具体案例套大前提，大前提一般是已知的定理。比如咱们上期讲到的三角形内角和是180°这个定理，如果在某个题目中，一个复杂的图形中存在三角形DEF，那么DEF就是具体案例，立即能推出 ∠D+∠E+∠F=180°。

二、基于计算的证明。

比如想证明下图中最后一步的结论，∠4=∠1+∠2，可以由三角形内角和是 180° 计算 ∠1+∠2=180°-∠3，由平角性质计算 ∠4=180°-∠3。两个式子算出同样的结果，说明两个式子一样，即 ∠4=∠1+∠2，这就是平面几何中的一个重要性质：

三角形一个外角等于不相邻的两个内角和。

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在我讲平面几何过程中，听到很多来自学生的疑惑：那些奇奇怪怪的辅助线 （guideline）谁能想到？想不到这条辅助线这题是不是就做不了了？

事实上，不做辅助线也会有其他方法做，只不过做辅助线会大大简化证明过程，所以希望大家在平时学习中，积累一些常见的辅助线的作法，辅助线不是说谁能在考场瞬间想到的，考场的成功都来自于平时的厚积薄发。

比如，已知下面右图中∠1，∠2，∠3各多少度，求∠4的大小。可做一条辅助线，把图形拆分成两个三角形，连用两次上面所说的重要性质三角形一个外角等于不相邻的两个内角和。可得出结论：

凹四边形凹角等于其余三个角之和。

这就是辅助线的作用：把不熟悉的东西转化成熟悉的。辅助线的本质是连接已知条件，用虚线搭建桥梁。

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我记得我小时候，特别羡慕班里会徒手画五角星（pentagram）的人，我学了一下怎么一笔画如下图的五角星，然而画的很歪。后来学了几何知识才知道，无论画的五角星是正的还是歪的，它五个角之和永远都是180°！

想想怎么证明这个有趣的性质吧，可以参考下图。

值得一提的是：我们对于较为复杂的性质的证明，往往不用最基础的结论了（如：三角形一个外角等于不相邻的两个内角和），而用稍微进阶一点的（如：凹四边形凹角等于其余三个角之和），这样就能大跨步的迈向结论了。

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从三角形到四边形 （quadrilateral），可以联想四边形就是两个三角形拼合而成，进而想到这条辅助线（所以有时候辅助线并不是件难事），得知凸四边形内角和为360°。

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由三角形的内角和，我们证明出了四边形的内角和，能不能再计算证明五边形、六边形、七边形……内角和呢？这在数学里就叫做推广 (generalization)了，把一些具体的问题一般化，证明其在更广阔的领域是对的，这很有用，过程也很难，数学家的精力主要消耗于此。

命题的推广在真正考题中往往作为某道题的最后一问，需要结合前面的具体结论来证明。有些学生觉得很难，其实，这是有套路的，推广的常见思路是看看证明特殊问题用到什么方法，现在还能不能继续用？

比如我们举个简单的例子，证明 n 边形内角和为（n-2）×180°，我们可以把图形拆成（n-2）个小三角形，如下图，即可证得。

每个顶点的外角等于180°减去内角，那么外角和是多少度呢？大家可以自行试试可否算出和证明。

学到这里，让我们来看一下今天涉及哪些知识点：

好，今天你学习了《图解数学》的第二讲，了解了任意五角星的内角和都是180°，也学会了它的证明。

恭喜你，又解锁了图解数学的一个新章节。

下期你将学习：

图解数学」系列第三讲

等腰三角形与等边三角形

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