作者 | 刘瑞祥
来源 | 说短论长
编辑 | 遇见数学
本文原创性很低,但是我希望大家读了以后能真的读懂,切实理解其中道理,而不是囫囵吞枣。本文涉及初等数论的三个非常重要的定理(算法),均出自《几何原本》。
一、预备知识
如果两个数都能被第三个数整除,则这两个数的和、差一定能被第三个数整除;如果两个数有且只有一个能被第三数整除,则这两个数的和、差一定不能被第三个数整除。
二、辗转相除法的原理
设有两个数、,欲求其最大公约数,可以用大数除以小数,取其余数(肯定小于一开始的较小数,我们不妨称这一步得到的余数是第一余数),再以开始所给的较小数除以第一余数,再取余数(即第二余数),以后以第一余数除以第二余数达到第三余数,第二余数除以第三余数得到第四余数…直至余数为时,上一次的余数即为初始两个数的最大公约数。
例:设初始的两个数为和,以除以得到第一余数为,再以除以得到第二余数为,以除以得到第三余数为 3,因为 12 能被 3 整除,所以 3 是最大公约数。
→和的最大公约数是。
道理很简单:取余数,其实可以看做从里连续减去直到减不开为止。而公约数(姑且不管是不是最大)是和共同的约数,即、都是的倍数,所以从中连续减去,两个同为倍数的数做减法,得到的余数(这里是第一余数)当然还是的倍数,此即前面提到的预备知识。以后辗转进行下去,每一次得到的余数当然也还是的倍数。直到得到这个,也就是整除了。
那为什么是最大公约数呢?因为如果不是最大的,换句话说就是还有更大的,比如是。那么这个就在前面的过程中被跳过去了。那么显然就违背了预备知识。因为本来任何一步里两个数的全部约数都满足预备知识,结果这么一来肯定有的不满足了。
以上就是著名的欧几里得算法,只不过当年欧几里得用词远比这严谨。这个算法有什么用呢?它比起小学学的短除法,最大的好处是不用一个个的尝试某个数是不是公约数。短除法对于大数很麻烦,比如求和的最大公约数需要一个个尝试,如果给的两个数更大,特别是两个数的公共质因数很大,就更麻烦(最近一位老师让学生计算和的最大公约数,许多学生就算不出来)。另外用辗转相除法还可以立刻得出一个结论:相差为的两个正整数互质。
三、最大公约数和最小公倍数的关系
这个关系很简单:两个数的最大公约数和最小公倍数,二者的乘积等于原来两个数的乘积。
首先我们看两个互质数的情况:互质数的最大公约数就是,最小公倍数就是这两个数的乘积,显然符合这个关系,但是任意两个正整数呢?
要理解这个关系也不难,假设两个数、的最大公约数是,即,,则显然,而括号里的恰好就是最小公倍数。如果还有人觉得不放心,可以回忆一下短除法的计算过程:对于两个数的情况,侧面的乘在一起就是最大公约数,侧面的和底下的乘在一起(无论计算最大公约数还是最小公倍数,侧面的只取一次)就是最小公倍数。
四、质数有无穷多个的证明
这个定理有很多证明方法,但最简单的是这个:假设质数是有限的,将全部各个质数乘起来再加,则这个新得到的数肯定和全部质数的乘积互质,即不能被已有的各个质数整除,所以是一个新的质数。这就和前面矛盾了。
大家要注意,这里并不是说若干质数乘起来再加一定会得到新的质数,实际上也可能得到一个能被其它质数整除的合数。比如、都是质数,而却不是,它是的倍数,注意不是、、、、、中的任何一个。你可能认为得到合数的情况非常罕见,其实不然,你可以按照上面的规律继续算几个,只不过即使得到的是合数,其约数往往也比较大。
用连续相乘的方法还可以求任意长度的连续合数数列。比如我要生成连续个合数,就可以先计算出,然后用这个结果加、加、加一直到加,因为含有的每个因子,所以加就是的倍数,加就是的倍数,如此等等。可以想见,用这样的方法得到连续的千百万个合数也是没有问题的。但是这样得到的数列肯定不会是最小的,即以此题为例,实际上在这之前我们就有连续七个合数,而更前面还有、、、、、、等多个连续的五合数数列。另外不但从乘到加直至加()是合数,而且前面还有也都是合数,也就是说连续十三个数都是合数。
一方面质数是无穷无尽的,另一方面连续的合数数列可以要多长有多长,多么神奇的数学。
另外我要说一点:初等数论在小学数学中是非常特别的内容,它的计算和小学数学其它部分明显不同,主要是对逻辑的要求比较高,如果只让学生机械地记忆和应用这些内容,那就太可惜了。虽然谁出的卷子都不要求学生写算理,但是算理最重要。至于有的老师总觉得学生不一定能理解其中的道理,那我只能说:如果你不去发展学生的思考能力,那学生就永远也无法发展思考能力,思考能力的发展是长期而艰巨的,但不可缺少。为什么五年级学生理解不了被整除数的特性?因为他四年级的时候没有发展相应能力,四年级时为什么没有发展起来?因为他三年级时…老师总是告诉学生最后的结论,如同厨子总是把菜做好了再端上来,顾客是不会学会做菜的。
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