写在前面

如果您知道复数，那么复数可以比大小吗？如果您不知道复数，那现在您知道了。

复数

话说复数真的是个神奇的东西，在初中我们要是见到 根号（-1）肯定会认为他错了，根号下怎么可能有负数呢？

随着我们知识的增长，我们接触到了数系的扩充，从最简单的自然数到整数，再到有理数，再到实数。虽然数系的扩充带来了很多新的问题，不过都是曾经所铺垫好的

但是从实数到复数的扩充却实实在在打破了我们的认知。根号（-1） 出现了！

不过阿拉丁今天不是讲什么是复数的，我相信大多数人还是知道复数这个概念的，对

i^2=-1 也是不陌生的，尤其是现在正在埋头苦学复变函数的各位朋友。

阿拉丁今天主要想和大家探讨一下我们见过实数比大小，但是为什么没见过复数比大小呢？

问题背景

说实话阿拉丁在高中还真没想过这个问题，因为可能还是惯性思维，在复平面上的东西自觉认为它和坐标一样，比单纯大小没啥意义。

但是最近复习的时候突然涌现很多问题，比如：为啥复数不能比大小？

因为从数系扩充的原则上来看，我们自然希望将实数集上的大小关系扩充到复数上去，同时需要保留原来大小关系所具有的通常必备的一些性质。

这也包括两方面的内容：

能否在原来数集的基础上，建立新数集的大小关系，并使其满足顺序率新数集上的大小关系能否保留一些通常必备的性质（比如一些基本的运算律）

前几次数系的扩充这两个问题都得到了很好的解决，但是到了复数这里似乎行不通了。我们只是用复数的模来比较，和原先数系完全不一样。

阿拉丁有话说

阿拉丁觉得从自然数到实数肯定是遵循着某种定律，使得他们是可排序的，而复数刚好跳出了这个定律，比较复数的组成都和前几者不太一样。

复数集是有序集，可以先后排序

在我们的认知中不等号的存在导致数一定满足三分律：

也就是说两个复数中实数部分大者该复数就大；实数部分相等，虚数部分大着，该复数就大

可是如此规定就是一般意义上的比大小吗？

复数集不是有序域，不能比大小

虽然复数集是有序集，存在排序的概念，但是集合序还不等于大小数目顺序，只有在集合顺序在四则运算之下具有保序性时，才是真正意义上的比大小。

这里阿拉丁简单的介绍一下域 （域当然没那么简单，近（去）世（世）代数，群环域让你欲罢不能）

很显然，复数集不满足有序域的概念，

比如：

当然，这显然是矛盾的。一般的，如果我们要研究复数集上任意元素的大小关系，都必须放弃对乘正数保序性的要求，所以复数集上不能比大小。

总结

我们在最开始将复数实部与虚部拿出来比较大小实际上不叫比大小，而是一种基于有序集的有序化过程。

而大小和顺序是有本质差别的，因此复数可以有序化但不能比大小！

今天你学废了吗？

后记

这是最近阿拉丁突发奇想，加之多方求证得到的结论。想要讲清楚域这个概念很难，所以只能放弃严谨，通过最简单办法来说明，肯定会有错误，不过欢迎大家批评指正，也可以私信我给出您的讲解方式。

还有就是头条号没办法编辑数学公式吗？或者有谁能告诉问一下，我靠截屏粘贴图片搞得特别难看。

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