今天主要学习平方根、算术平方根和立方根这三个知识点,同学们一定要理解乘方和开方互为逆运算,它们两和加减、乘除一样,是一种运算法则。相加的结果叫做和、相减的结果叫做差、相乘的结果叫做积、相除的结果叫做商、乘方的结果叫做幂、开方的结果叫做根。
注意开方新引入的这个符号,叫做根号,参照着加减乘除理解,它也是个运算符号。
同学们要把被开方数结合着被减数与被除数理解,根指数结合着乘方的指数理解
我们知道乘方有2次方、3次方......n次方,初中阶段主要研究的是2次方、3次方,也就是常说的平方和立方。那么与之互逆且相对应的开方运算,我们初中阶段也主要研究开2次方(开平方)、开3次方(开立方)。开平方的结果是平方根,开立方的结果是立方根。
要理解并记住只有非负数才有平方根,负数没有平方根。实数a(a≥0)有两个平方根(0的平方根是0),它们互为相反数。一个数的平方根平方后仍然等于这个数。(结合着加减、乘除的互逆运算理解)
一个非负数a的两个平方根中的正的平方根叫做a的算术平方根,要理解好算术平方根的双重非负性。
要知道平方根的表示,熟悉基本知识点及性质,会结合着绝对值去根号。
然后在掌握平方根的基础上理解立方根,注意二者的联系与区别。
初中阶段的三种类型的非负数一定要牢牢掌握,并熟练运用。
例1:已知2a﹣ 1的平方根是±3,3a+2b+4的立方根是3,求 a+b 的平方根。解析:先根据平方根、 立方根的定义得到关于 a、 b 的二元一次方程组, 解方程组即可求出 a、 b 的值, 进而得到 a+b 的平方根。
例2:已知m+n 与m﹣ n 分别是9的两个平方根, m+n﹣p 的立方根是1,求 n+p 的值解析:①一个数的平方根有两个,它们互为相反数; ②互为相反数的两个数和为0。③9的平方根是±3;④1的立方根是1。
例3:
解析:由绝对值及算术平方根的非负性可得,x+2=0,y-3=0.从而得到x=-2,y=3.所以x+y=1,最终答案为1.
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