概述

格点作图问题作为中考的新宠儿，自从登上中考试卷之后，迅速的在初中各年级考试当中铺开，并且难度有逐年加大的趋势. 借鉴了尺规作图的处理思路，我对格点做图进行了探讨，讲一些经验分享如下.

在正式开始格点作图的讨论之前，我们必须要树立这样的一个概念，正如尺规作图存在局限性一样，有著名的尺规作图三大不可能问题，格点作图也存在很大的局限性. 那么格点作图能处理哪些问题呢？他的局限性是什么呢？这便是我们要探讨的问题了.

格点作图的局限性

第一次接触到格点作图的，会让你想到什么呢？

很多同学回答我说，想到了平面直角坐标系，但是格点作图和平面直角坐标系是迥然不同的两个东西.格点作图的网格是稀疏的，平面直角坐标系的网格是稠密的. 如果我们也把格点作图的网格视作坐标系的话，那么借由无刻度直尺，我们只能在这个所谓的格点坐标系里面画出横纵坐标均为有理数的点，而在平面直角坐标系中，我们可以画出横纵坐标为任意实数的点.

和平面直角坐标系进行对比之后，我们便能很直观的认识到格点作图的局限性，即格点作图只能处理特殊的问题.

格点做图的可能性

我不想用具体的题目去阐述格点作图能够解决哪些问题，不能解决哪些问题. 让我们做一些更加形而上的工作，从更抽象的角度解释下格点作图能够解决哪些问题.

在进行解释工作之前，我们先定义几个新的概念.

有理线段：单个网格长度视为1，若一条线段的长度为有理数，则称其为有理线段.有 理 角：若一个角的正切值为有理数，则称这个角为有理角.有理角度：有理角对应的角度即为有理角度.倾 斜 角：在网格图中，直线l向上的方向与右边水平网格线的所成的夹角为倾斜角.有理直线：若直线的倾斜角为有理角，则称这条直线为有理直线.二阶有理角：角度本身为有理角，且其半角也是有理角.有理网格线：距离格点水平距离为有理长度的且与网格线水平或垂直的直线

从线段和角度的视角

格点作图能画出水平或竖直方向任意有理线段格点作图能画出任意有理角

从三大变换的视角

平移：格点作图可以对任意点进行水平or竖直任意有理长度的平移对称：格点作图可以对任意点进行关于任意有理直线的对称操作旋转：格点做图可以对任意点进行任意二阶有理角的旋转操作

有了上述的总结，我们便可以轻松认识到哪些问题是无法使用格点做图去解决的，在此举几个简单的例子，比如画一个60度的角或者水平or竖直方向上画一个根号5长度的线段.

格点作图的基本技巧

水平or竖直方向上画任意有理长度

图1橙色线段为三分之一，图2橙色线段为四分之三

竖直方向有理长度画法同理易得，在此不做赘述

诀窍：利用相似和比例线段相关知识，综合使用A型相似或者X型相似.

任意点关于任意有理网格线的对称点

上图为作点A关于绿色的有理网格线的对称点A

竖直方向有理网格线的作法同理易得，在此不做赘述.

诀窍：两线相交可定点，故作直线关于网格线的对称来确定对称点，而直线的对称又通过特殊点关于网格线对称进行表述.

任意点关于任意有理网格线的垂线或者平行线

上图为作点A关于绿色的有理网格线的垂线AA

过点A作绿色网格线平行线的作法同理易得，在此不做赘述.

诀窍：对称点相连即可得平行or垂直

任意二阶有理角的角平分线

上图为作有理角∠ABC的角平分线BD

诀窍：观察可知$tan angle ABC=frac{3}{4}$，根据正切三角函数二倍角公式可得$tan angle CBD=frac{1}{3}$

平移：任意点进行水平or竖直方向上任意有理长度的平移

上图为作点A向右平移1个单位长度的点A

竖直方向平移的作法同理易得，在此不做赘述.

诀窍：两线相交可定点. 根据(三)可作过点A的平行线，同时结合过点A的蓝色直线平移便可得到A. 蓝色直线的平移转化成特殊点的平移.

任意线段取任意有理等分点

上图为取任意线段AB的三等分点O

诀窍：由(五)可知，可作任意点关于任意有理长度在水平或者竖直方向的平移，所以取线段AB的三等分点构建X型相似即可. 点A往下平移1个单位长度变成A，点B往上平移两个单位长度变成B.

对称：任意点进行关于任意有理直线的对称操作

上图为作点A关于绿色有理直线(倾斜角正切值为2)的对称点A

其他有理直线的作法同理，在此不做赘述.

诀窍：两线相交可定点. 找到两个特殊的网格点，先做他们关于绿色有理直线的对称点，然后分别作这两个特殊点与A的连线，通过这两条连线的对称，来找到A的对称点.

旋转：任意点进行任意二阶有理角的旋转操作

上图为将点A绕点O逆时针旋转α，且α=∠COD

诀窍：先做出∠COD的角平分线OE，然后作A关于直线OE的对称点K点，紧接着作K关于OC的对称点A