椭圆准线方程（椭圆准线的推导讲解）

问题：设是椭圆上一点，和分别是点M与点的距离。求证，其中e是离心率。（人教版《数学》第二册（上）P133）

椭圆上任一点M与焦点F1或F2的距离，叫做椭圆的焦半径，也称为左焦半径，为右焦半径。

一、焦半径的求解思路

思路1：由椭圆的定义有：

故只要设法用等表示出（或），问题就可迎刃而解。

由题意知，

两式相减得

联立<1>、<2>解得：

在与中，前的符号不表示正、负，真正的正、负由确定。

思路2：设焦点

则，即

另有

<2>÷<1>得：

<1>、<3>联立解得：

把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。

思路3：推敲的沟通渠道，应从消除差异做起，根式中理应代换。

由点M在椭圆上，易知

则

由，知

故

同理

上述思路体现了先消元转换成关于的二次三项式，再化成完全平方式的思想。由a、e是常数与，容易推出（时取得），（时取得）。

思路4：椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。

如图，作椭圆的左准线，作MH⊥于H点

则

即

同理可求得：

应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点的距离等价转化成平行于x轴的直线上点M、H的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。请你独立探求焦点在y轴上的椭圆上任一点的两条焦半径（）。

二、焦半径的应用

应用焦半径公式易于分析椭圆上的点与焦点连成的线段，尤其是两条焦半径与焦距围成的三角形，或是焦半径与准线相关联等问题。

例1. 在椭圆

上求一点，使它与两个焦点的连线互相垂直。（人教版《数学》第二册（上）P132）

解析：设所求点

由

得：

又

即

解得：

代入椭圆方程得：

故所求点M为（3，4），或（3，-4），或（-3，4），或（-3，-4）。

例2. 点P是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，又点P在x轴上方，为椭圆的右焦点，直线的斜率为，求的面积。（人教版《数学》第二册（上）P133）

解析：设点P的横坐标为x，

由条件，得：

依题意得：

所以

由

得：

故

例2也可先求直线方程，与已知椭圆方程联立，解二元二次方程组求出点P的纵坐标y，则。

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