平行线能相交吗（直线平行几何公理）

提要

平行线的判定及其性质是初中几何的基本内容，是进一步研究几何问题的基础，难点主要有两个方面：一个是三线八角识别，这是正确运用性质与判定的基础；另一个是性质与判定的区分。

知识全解

一．平行线

（1）概念：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线，用符号‖表示，在同一平面，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

（2）基本性质

①经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行

②如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，即a‖b，c‖b，那么a‖c。

二．平行线的判定、

（1）同位角相等，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线平行。

（3）同旁内角互补，两直线平行。

三．平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

提示：平行线的性质是两直线平行以后才有角之间的关系，而平行线的判定是在已知某些角之间的关系条件下，得到两直线平行的结构。为了有效区分性质与判定，可记住下列口诀：已知平行用性质，要证平行用判定。

方法点拨

类型1 判定两条直线位置关系

例1 如果所示，PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35度，∠2=55度，AB与CD平行吗

【分析】由PE与PF分别为角平分线，得到两对角相等，根据∠1与∠2的度数，求出∠BEF与∠EFD的度数之和为180度，利用同旁内角互补两直线平行即可说明。

【解答】AB‖CD，理由如下：

∵PE平分∠BEF，PF平分∠DFE，∠1=35度，∠2=55度

∴∠1=∠BEP=1/2∠BEF，∠2=∠PFD=1/2∠EFD

∴∠BEF=70度，∠EFD=110度，即∠BEF+∠EFD=180度

∴AB‖CD

【点评】解答这一类问题的关键是将条件转化为同旁内角，再判定。

类型2 判定角度之间的关系

例2 如图所示

E在直线DF上，B在直线AC上，若∠AGB=∠EHF，∠C=∠D,试判断∠A与∠F的关系，并说明理由

【分析】因为∠AGB=∠DGF,∠AGB=∠EHF，所有∠DGF=∠EHF，则BD‖CE，∠C=∠ABD，又因为∠C=∠D，所有DF‖AC，，所以DF‖AC，故∠A=∠F

【解答】∠A=∠F，理由如下

∵∠AGB=∠DGF，∠AGB=∠EHF

∴∠DGF=∠EHF

∴BD‖CE

∴∠C=∠ABD

又∵∠C=∠D

∴∠D=∠ABD

∴DF‖AC

∴∠A=∠F

【点评】解答这类问题可采用两种思考方式，一种是根据条件逐步推出结论，另一种是根据结论逆向思考，寻求解答所需的条件，再结合已知条件解答。

类型3 添加平行线求角度

例3 如图所示，

AB‖EF，BC⊥CD于C，∠ABC=30度，∠DEF=45度，则∠CDE等于（）

A.105度 B.75度 C.135度 D.115度

【分析】本题的条件中虽然给出了平行线与垂直，还给出了两个具体角的大小，但与要求的角无直接关系，可考虑添加平行线将问题转化，过点C和D作平行线，将要求的角转化到两个已知角中。

【解答】过点C作CM‖AB，过点D作DN‖AB

又∵AB‖EF

∴AB‖CM‖DN‖EF

∵AB‖CM，∠ABC=30度，则∠BCM=30度

又∵BC⊥CD，则∠BCD=90度

∴∠MCD=∠BCD-∠BCM=90-30=60度

∵CM‖DN

∴∠MCD=1=60度

∵DN‖EF

∴∠DEF=∠2=45度，即∠CDE=∠1+∠2=60+45=105度

故选A

【点评】熟练掌握平行线的条件和特征，并能灵活运用是求解本题的关键，充分运用条件，及时利用辅助线将问题转化是正确求解的前提。对于两条平行线间折线与拐角问题，一般是在拐点处作平行线，从而构造出一些相等的角或互补的角，将问题转化。