弧长公式是什么（弧长与圆心角计算公式）

（文章序列号：y3）

话题：科学 数学 黎曼几何

小石头/编

计算半径为 r(>0) 的圆Cʳ上，弧度为θ的圆心角对应的弧长s是非常简单的事情，

由于，Cʳ的周长2πr实际上是弧度为2π的圆心角对应的弧长，所以得到，s=2πr⋅θ/2π=rθ。

但是，若R处于流形中，我们又该如何计算呢？

任意维度的欧氏空间 ℝⁿ 上的 恒等映射，都是 自身到自身 光滑同胚，于是 构成的流形。考虑流形 ℝ 到 ℝ² 的光滑映射，

它在 ℝ² 中的像就是 Cʳ。

我们在 ℝ 中取长度为θ开区间 V=(a, b) ，则 弧f(V)的长度就是所求s。如图1，将V平均分为v个小区间，令x₁=a，xᵥ₊₁=b，这些分割点的像 f(x₁),⋯,f(xᵥ₊₁) 同时也把弧f(V) 分为v个弧长分别为 s₁, ⋯, sᵥ 的小弧度，小弧长度之和就是s。

图1：计算弧长

每个小区间 (xᵢ, xᵢ₊₁)，都对应 导射 df|ₓᵢ ，它是 xᵢ 处切空间 Tℝₓᵢ 到 f(xᵢ) 处的切空间 Tℝ²的线性映射，又因为 Tℝₓᵢ就是ℝ， 所以 Δxᵢ=|xᵢ₊₁-xᵢ| 也就是 Tℝₓᵢ 中的切向量，故 df|ₓᵢ(Δxᵢ) 是 Tℝ²中的切向量，同时也是 Cʳ 在 f(xᵢ) 点 的切向量。

我们知道，当v趋近无穷大时，Δxᵢ趋近0，于是 弧长 sᵢ 趋近 弦长 ǁf(xᵢ₊₁)-f(xᵢ)ǁ，而此时，弦向量 f(xᵢ₊₁)-f(xᵢ) 也将逼近 df|ₓᵢ(Δxᵢ) ，于是有，

进而，

至此，问题关键转变为：求 Tℝ² 中向量 df|ₓ(1) 的长度，这个根据《矢量分析》的知识有，

注：ǁxǁ 表示向量x的长度，也叫模或范数；< x, y> 表示向量x和y的内积（为了区别于二元坐标向量，本系列一律使用尖括号表示内积）。

于是，

这与我们一开始计算出来的结果一致。

若将上面的流形从 ℝ² 替换为 S²，则光滑映射，

在S² 中的像是 Cʳ，（当然，这里需要规定 r < 1）。

用类似上面的方法，同样可以得到 ⑴，所以关键是：求 TS² 中向量 df|ₓ(1) 的长度，这有，

这与前面的结果相同，故，最终的弧长也和前面完全一样。

实际上，对于任何光滑流形 M 中的任何光滑曲线f: ℝ→M 的弧长s的计算，都可以 推导 出公式 ：

所以，问题的关键是：

求空间 TM 中向量 df|ₓ(1) 的长度 ǁdf|ₓ(1)ǁ。

这样就将，流形中任意两点间的任意弧长的度量问题，转变为，对于切空间中切向量长度的度量问题。也即是说，我们只需要在切空间中定义切向量h的度量ǁhǁ，就可以通过 ⑴，在流形中诱导出弧长度量。而根据《矢量分析》的知识知道：

因此，最终的关键是，要给M的每个点x对应的切空间TMₓ 定义一个内积 <⋅, ⋅>，更具体地说，我们需要定义一个从M到全体内积的光滑映射g，对于每个 x∈M，有 g(x) = <⋅, ⋅>：TMₓ×TMₓ→ℝ，而由《高等代数》的知识知道，<⋅, ⋅> 是TMₓ 上的二重线性函数，并且必须满足：

对称性： = ；正定型： ≥ 0 且 = 0 ⇔ u=0；

这个映射g就是大名鼎鼎的黎曼度量（riemannian metric），定义了黎曼度量的光滑流形称为黎曼流形（riemannian manifold）。

图2：黎曼度量

我们知道线代空间加入内积就变成了内积空间，实际上所谓加入黎曼度量，就是以光滑的逐点方式，让流形上的每个切空间变成内积空间的过程。

内积可以很多，我们熟悉的的向量点乘：

称为欧氏内积。一遍来说，对于流形M的不同的切空间可以定义不同的内积，只要保证黎曼度量g是光滑映射就可以了，但是我们也可以对所有切空间定义同一个内积，比如：让S²的所有切空间都是欧氏内积，实际上欧氏空间 ℝⁿ 自然就具有 欧氏内积，所以它当然也就是 黎曼流形了。

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