求根公式和根的判别式(韦达定理两根公式)

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一元二次方程常见考点:①定义②解法③根的判别式④根与系数的关系⑤应用题

例1:如果关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)有两个实数根,且其中一个根为另一个根的2倍,那么称这样的方程为倍根方程.例如,一元二次方程x﹣6x+8=0的两个根是2和4,则方程x﹣6x+8=0就是倍根方程.

(1)若一元二次方程x﹣3x+c=0是倍根方程,则c=______;

(2)若(x﹣2)(mx﹣n)=0(m≠0)是倍根方程,求代数式4m﹣5mn+n的值;

(3)若关于x的一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)是倍根方程,求a,b,c之间的关系.

【分析】(1)由一元二次方程x﹣3x+c=0是倍根方程,得到x+2x=3,2x=c,即可得到结论;

(2)解方程(x﹣2)(mx+n)=0(m≠0)得,x=2,x=n/m.由方程两根是2倍关系,得到x=1或43,代入解方程即可得到结论;

(3)根据倍根方程的概念得到原方程可以改写为a(x﹣t)(x﹣2t)=0,解方程即可得到结论.

【点评】本题考查了根与系数的关系:若x,x是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根时,x+x=﹣a/b,x1x2=a/c.也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程.

例2:已知关于x的一元二次方程(a+b)x+2cx+(b﹣a)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长.

(1)如果x=﹣1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;

(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;

(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

【分析】(1)将x=﹣1代入方程中,化简即可得出b=c,即可得出结论;

(2)利用一元二次方程有两个相等的实数根,用△=0建立方程,即可得出a2+c2=b2,进而得出结论;

(3)先判断出a=b=c,再代入化简即可得出方程x2+x=0,解方程即可得出结论.

【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定,直角三角形的判定,等边三角形的性质,解一元二次方程,解本题的关键是建立方程.

例3:已知关于x的方程x﹣(a+b)x+ab﹣1=0,x、x是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x≠x;②xx<ab;③x+x<a+b.则正确结论的序号是________.(填上你认为正确结论的所有序号)

【分析】(1)可以利用方程的判别式就可以判定是否正确;

(2)根据两根之积就可以判定是否正确;

(3)利用根与系数的关系可以求出x12+x22的值,然后也可以判定是否正确.

【点评】本题考查的是一元二次方程根的情况与判别式△的关系,及一元二次方程根与系数的关系,需同学们熟练掌握.

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