勾股数一定是整数吗（勾股公式直角整数）

模块一：勾股定理

1.定义：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：

几何图如图所示

也称商高定理（西周），赵爽弦图（三国），勾股圆方图（九章算术），百牛定理（古希腊），毕达哥拉斯定理（古希腊）

eg:

以上图的直角三角形为例，a的边长为3，b的边长为4，则我们可以利用勾股定理计算出c的边长。

由勾股定理得，a + b = c →+=

即，9 + 16 = 25 = c²

c = 5

所以我们可以利用勾股定理计算出c的边长为5。

2.证明

邹元治证法：

赵爽弦图：

美国总统加菲尔德证法：

3.勾股数：

3,4,56,8,105,12,139,12,157,24,258,15,179,40,41

若三个正整数abc满足,则这三个正整数为勾股数

若a,b,c为勾股数，则ma,mb,mc（m为正整数），也为勾股数（勾股数为正整数）

eg:3，4，5三边各乘以2，即6，8，10也是勾股数

4.特殊三角形三边之比：

等腰直角三角形

等腰直角三角形三边之比= 1: 1：

30°，60°，90°直角三角形

30°，60°，90°直角三角形三边之比=1：：2

顶角120°的等腰三角形

顶角120°的等腰三角形三边之比= 1: 1：

5.等面积法：

S=1/2ab=1/2ch，即ab=ch，其中h是斜边上的高。