联合概率密度（二维联合概率密度怎么证明是否独立）

我们知道，对于两个随机事件，其独立性定义为

对于两个随机变量

也就是

这是由边缘概率密度和边缘分布函数对两个随机变量进行独立性判断的方法。 那么，能不能通过期望和方差的方法进行判断呢？

由下面的定理：

并且X，Y相互独立时

但是反过来，由

这个前提，能不能判断X，Y相互独立呢？看下面的反例：

另外

可见

只是可以推导出协方差等于0,即相关系数等于0，也就是X,Y不相关，但是并不能推导出两者相互独立。

简单总结：

1：两个随机变量的独立性只能通过联合分布函数和边缘分布函数，或者联合概率密度和边缘概率密度来进行判断。

2：随机变量X， Y相互独立可以推出E(XY)=E(X)E(Y) ，也就是可以推导出两者不相关，但不能说明两者相互独立。

3：可见，两个随机变量不相关并非一定能推得两者相互独立的结论。