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为什么有理数一定能表示为一个有限小数或无限循环小数，以及怎么把一个无限循环小数化为它的既约分数形式?
不知道如何证明如果有理数化成小数形式如果是无限小数，那么它一定是循环的。碰到 0.168831 168831 168831... 怎么知道它作为分数是什么？
一、问题重述
要证明：有理数=有限小数+无限循环小数，咱们首先来做几个说明：
有理数又称为比例数，因此有理数和分子分母是整数的分数是等价的。每个有理数都有一个既约分数和它对应，既约分数是指分子和分母不仅是整数，而且二者的最大公约数是1。
有限小数是有理数一定正确。
我们可以把需要证明的有理数的范围缩小到(0, 1)之间，如果在这个范围内结论成立，那么推广到全部有理数上结论也成立。
无限循环小数是形如的小数，其中前面的m个小数位没有循环，循环节是。
为了证明题目，需要证明下面两个结论：
无限循环小数一定是有理数。
有理数一定是有限小数或者无限循环小数。
二、证明无限循环小数一定是有理数
首先我们任取一个无限循环小数，从它开始循环的地方切一刀，把前面和后面的部分分开：
因为分数/有理数的四则运算还是分数/有理数，所以为证明q是有理数，只需要证明可以写成分数的形式。
我们把循环节提出来，把 再分解一次：
后面的无限循环小数的循环节是连着k-1个是0，然后跟一个1，恰好满足：
原因是：
因此我们得到：
这样就证明了 是有理数。
三、证明有理数一定是有限小数或者无限循环小数
我们随便拿来一个既约真分数。也就是分子分母互质，并且值在(0,1)之间的分数。我们要证明它一定是有限小数或者无限循环小数。
思路：
因为由上面的分析我们知道是循环节为c的循环小数，我们首先试探任意有理数是否一定存在循环小数的相等形式：（这个等式不一定成立，但是可以启发我们）。假设这个等式成立，则：
交叉相乘，得到。因为a、b互质，为了能让等式成立，就必须使b是的约数。因此，只要是某个连续若干个9组成的整数的约数，那么上面那个式子就一定成立。因此，我们需要尝试找一个整数n，满足b能整除 。这启发我们构造一个特殊的数列。
构造：
对任意，我们定义一个数为连续m个9组成的整数除以b的余数：，如果有一个，那么咱们的目的就达到了。
同余除法有一点点复杂，经过一定计算我们可以得到一个递推公式：
继续推导可以得到一个一般递推公式：
因为一个数除以b的余数只能是0到b-1之间的b个整数，一共只b种可能，因此不断把k增大，一定有某两个f的值相同了。咱们不妨就假设，这说明：
因此是的约数。
虽然这并不能说能整除其中一个（除非是素数），但是可以说能分解成两部分，各整除其中一部分：我们令，满足整除，整除。前者可得整数 满足；对于后者，我们首先由的定义得知，其中是某个整数，从而两边加1得
，进而由 既整除 又整除 得到 能够整除，得知存在另一个整数满足。
因此我们得到：
咱们令
则可以得到：
和上一节的结论一比较，就可以知道这一定是一个有限小数或循环小数之。由于分数a、b的选择是任意的，证明完毕。
via:王小龙（知乎）
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