信号与线性系统（关于信号与系统的复习策略）

第8章 系统的状态变量分析8.1 复习笔记描述系统的方法分为输入—输出法和状态变量法，本章重点介绍了第二种方法—状态变量法，包括状态方程的建立和求解问题，重点讨论了建立状态方程的几种方法，探讨了状态方程的时域解法和变换域解法，最后讨论了系统可控性和可观测性问题。【学习重点】（1）重点掌握连续系统状态方程的建立方法（微分方程、系统函数、流/框图、电路图）。（2）重点掌握离散系统状态方程的建立方法（差分方程、系统函数、流/框图）。（3）掌握状态方程的求解方法（时域解法＋变换域解法）。（4）重点掌握可控性和可观测性的判别方法。（5）重点掌握利用状态方程判断系统的稳定性问题。一、状态方程和输出方程状态方程描述了系统状态变量的一阶导数（或一阶差分）与状态变量自身及系统输入之间的关系。输出方程描述了系统输出与状态变量及系统输入之间的关系。状态方程和输出方程的结构见表8-1-1。表8-1-1 状态方程和输出方程的结构

【注意】A，B，C，D均为常数矩阵，其中A为n×n方阵，称为系统矩阵；B为n×p矩阵，称为控制矩阵；C为q×n矩阵，称为输出矩阵；D为q×p矩阵。二、状态方程的建立1由系统的输入输出方程建立状态方程（1）由系统的输入输出方程或系统函数，首先画出其信号流图或框图。（2）选一阶子系统（积分器/迟延器）的输出作为状态变量。（3）根据每个一阶子系统的输入输出关系列状态方程。（4）在系统的输出端列输出方程。2由电路图直接列写状态方程（1）选取电路中所有独立电容电压和独立电感电流作为状态变量。（2）对接有所选电容的独立节点列写KCL电流方程，对含有所选电感的独立回路列写KVL方程。（3）若上一步所列方程中含有除激励以外的非状态变量，则利用适当的KCL、KVL方程消去，然后整理给出标准的状态方程形式。（4）用观察法由电路或前面已推导出的一些关系直接列写输出方程，并整理成标准形式。三、系统状态方程的解1连续系统状态方程的解已知起始状态x（0－），状态方程和输出方程为x·＝Ax＋Bf，y＝Cx＋Df。解状态方程有时域解法和变换域解法两种。这里也以二阶系统为例，将时域解法与变换域解法的求解步骤一并归纳，见表8-1-2。表8-1-2 连续系统状态方程解法

2离散系统状态方程的解已知状态x（0），状态方程和输出方程为x（k＋1）＝Ax（k）＋Bf（k），y（k）＝Cx（k）＋Df（k）。离散系统状态方程也有时域解法和变换域解法两种。这里也以二阶系统为例，将时域解法与变换域解法的求解步骤一并归纳，见表8-1-3。表8-1-3 离散系统状态方程解法

四、用状态方程判断系统的稳定性根据系统矩阵A的特征值可判断因果系统的稳定性。对于连续系统：只要|sI－A|＝0的根均在s平面的左半平面，则该因果连续系统是稳定的。对于离散系统：只要|zI－A|＝0的根均在z平面的单位圆内，则该因果系统是稳定的。