数学之美源自于它的抽象与纯洁、简洁与深度，能够欣赏的人透过这些来获得审美的愉悦。匈牙利数学家埃尔德什·帕尔这样说：为什么数字是美丽的？这就像问贝多芬的第九交响曲为什么是美丽的。如果你自己没有体会到，那其他人也不可言明。我知道数字是美丽的。如果数字不美丽，什么都不是。

尤其是，一些特别的数字会经常出现在重要方程和公式之中，而由这些方程公式的结论所推导出结论也让它们拥有了更为独特的数学之美。在本文中会列举出来从无穷 ∞ 到黄金比例 φ 的 12 个有趣数字。

12. 无穷：∞

在数学，无穷(或称无限)更多地是一个想法或概念，而非一个数。无穷大的符号为∞，称为双扭线。

在讨论有关无穷的性质及其他有趣的事情之前，我们要先知道，π 也是一种无穷的形式（这个数学常数稍后会在后面文章中再聊），当然这里指的是小数点后面的无限不循环部分，3.14159…。

我们无法界定到底第多少位开始才算做第无穷大位，这就是为什么无穷大是一个概念， 而不是能够量化的概念。

另一个例子来自美丽的分形领域。举个简单的例子，科赫雪花曲线可以被细分为无限多个无限小的相同形状的小段。

有趣的是，这样美丽的雪花曲线当把无穷放大后，即便长度无限大，但它还是保持着自身的形状。

再来看看 2 个与无穷相关的简单话题。需要注意的是，集合论之父格奥尔格·康托尔的后半生就是因为无穷而遭受到了当时许多数学家长期攻击和严厉批评。直到他离世后数十年，才被绝大多数数学家认可其理论，并认为是数学史上一次重要的成果。

1=0.999… 吗?

很自然地，当循环小数 0.999…中 9 的数量趋近于无穷多时，它等于 1，从代数上证明这个结论也很容易，下面快速来看一下：10x = 9.9999

如果分别从两边减去 x，就会得到：9x = 9.9999 -0.99999x = 9

再除以 9，就有：x = 1

是不是有点意思呢？其实证明方法有很多，感兴趣的朋友可以尝试更严谨的证明。

∞ — ∞ = 0 吗?

任何数减去它自身都会得到零，但刚才提到过，无穷不是一个数，所以不遵循这个原则。下面来做一个测试来验证一下，比如把这个式子两边同时加上 1：∞ — ∞ + 1= 0 + 1

要知道无穷加上 1 等于无穷，可以利用这个来简化方程：∞ — ∞ = 1

一个意料之外的结果！利用这个方法，可以让无穷减去无穷，来得到任何我们想要的数。因此，用无穷减无穷是没有意义的。

以下是一些有关无穷的计算公式：

11. 虚数单位：i

数学或物理中，虚数单位 i 意指不存在、虚构的数，它出现使得数由实数扩展到复数中。

虚数（imaginary number）是一个实数与虚数单位的乘积，它也是复数。当对虚数进行平方运算的时候，会得到一个负数。这不是通常实数意义下的平方运算，因为把某个实数乘以它自己时，会得到一个正数结果。

在 17 世纪，法国著名数学家勒内·笛卡尔还带着调侃的语气称虚数为不存在的数，就是认为这是无用的概念。那么 -6 的平方根是多少呢？当时人们并不知道。但这并不妨碍数学家推开复数之门，发明这种数。到了下个世纪由欧拉和高斯的研究，虚数被数学界广泛接受。

这也就是数学之美与其他科学工具不同，数学家总可以假设某个对象存在，细心论证，并考虑它们能更好地为研究所用。

那它们有什么用呢？答案之一是可以用它求出一些在实系数方程中无解的根。让我们来看看具体的例子：

√4 等于多少 ? 很简单, 等于 2.√-4 等于多少?有点复杂但答案是 2i.

我们添加了代表虚数的 i 来帮助得到 -4 的平方根。下面来检验一个通常被称作无解的方程，并看看如何用虚数解决它。

显然，x 的平方绝不会得到一个负数（在这里我们用的是 -1），所以就假设答案是 i。

就是这样，在复数域中，这个方程以及所有多项式方程都能找到解。不仅如此，在电路设计中，虚数更是重要，工科学子可要学会使用这个工具。

10. 古戈尔 Googol

1 古戈尔等于 10^100，也就是后面缀着 100 个 0。这么大的数如果要按位念是这样：一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿，要知道后面跟着12个亿。

它几乎等于 70!（阶乘），或者想这个问题： 个人排队方法有多少种呢？答案就近似古戈尔的数量级。

要知道全宇宙所有原子总数约在 10^72 到 10^87 个之间，这都要比 1 古戈尔要小。

为了让头脑风暴来得更猛烈，这里还有一个被称作古戈尔普勒克斯(googolplex)的数，就是 10 的古戈尔数次方，它写作：

对于这个古戈尔的指数，不要试图写出或存储起来，至少以人类目前的技术是遥不可及的。

很有意思的是，谷歌公司名最初来历就是被拼写错误的古戈尔数。不过这确实是命名搜索引擎的好方法，很形象表示互联网络上无尽的信息内容。但本身对于数学而言却无特别有用之处，倒被更多被用在叙述上面那样或宇宙大爆炸的天文学研究当中。

9. 数字 9

自然数 9 是我最喜欢的数字，巧合的是这也是本文介绍的第九个有趣的数。我觉得它看上去特别美丽，富含数学之美。在几何学中，我们会发现它隐藏在许多地方，例如：

整圆. 每个圆有 360° (3 + 6 + 0 = 9)二等分圆.每个半圆有 180° (1 + 8 + 0 = 9)四等分圆. 每个四等分圆有 90°(9 + 0 = 9)八等分圆. 每个八等分圆有 45°(4 + 5 + 0 = 9)16 等分圆。每个 16 等分圆有 22.5° (2 + 2 + 5 = 9)32 等分圆。每个圆有 11.25°(1 + 1 + 2 +5 = 9)圆内接正三角形. 内角和是 60° × 3 (180 = 1 + 8 = 9)正方形. 内角和是 90° × 4 (360 = 3 + 6 + 0 = 9)

接下来是其他圆内接正多边形：

从左至右： 五边形, 八边形, 十边形。

五边形每个内角= 108° = 1 + 0 + 8 = 9 // 72 = 7 + 2 = 9八边形单角=135° = 1 + 3 + 5 = 9 // 45 = 4 + 5 = 9十边形单角= 144° = 1 + 4 + 4 = 9 // 36 = 3 + 6 = 9

而且，如果令数字相加，还会回到数字 9 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36)。就有 3 + 6 = 9

令数字相乘再把每位数上的数字相加也会回到 9，例如：

9 x 1 = 99 x 3 = 27 = 2 + 7 = 99 x 7 = 63 = 6 + 3 = 99 x 9 = 81 = 8 + 1 = 9

让 9 除数字也会给出相同数字的无限循环小数，例如：

1 / 9 = 0.11111……3 / 9 = 0.33333……7 / 9 = 0.77777……

创组团队： 编译：小白 审校:小白，公理